Đề bài:
Chứng minh rằng hàm số y = \frac{x}{x^{2} + 1} đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Hướng dẫn phương pháp giải:
- Tìm tập xác định của hàm số.Tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm các điểm xi (I =1,2,3,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
- Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số trên tập xác định của nó. (nếu y’ > 0 thì hàm số đồng biến, nếu y’ < 0 thì hàm số nghịch biến)
Đáp án:
Tập xác định:: D = R
Ta có: y'=\frac{x^{2}+1-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)}
\Rightarrow =0\Leftrightarrow 1-x^{2}=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}
x = 1\\
x = -1
\end{matrix} \right .
Bảng biến thiên:
Vậy:
– Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1)
– Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞).
Các em chú ý: cách tính giới hạn của hàm số để điền vào bảng biến thiên: \lim_{x\rightarrow \pm ∞} \frac{x}{x^{2}+1}=0