Đề bài:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tanx>x(0<x<\frac{\pi}{2}).
b) tanx> x + \frac{x^{3}}{3}(0< x< \frac{\pi }{2})
Hướng dẫn Phương pháp giải:
- Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.
- Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x) trên các khoảng đề bài đã cho.
- Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.
Đáp án:
a) tanx>x(0<x<\frac{\pi}{2}).
Xét hàm số: y=f(x)=tanx-x với x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).
Ta có: y'=\frac{1}{cos^{2}x}-1=\frac{1-cos^{2}x}{cos^{2}x}=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}=tan^{2}x> 0\forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).
Vậy hàm số luôn đồng biến trên \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).
\Rightarrow \forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ) ta có f(x)> f(0) \Leftrightarrow tanx-x> tan0-0.\Leftrightarrow tanx-x>0.
\Leftrightarrow tanx>x (đpcm).
b) tanx> x + \frac{x^{3}}{3}(0< x< \frac{\pi }{2})
Xét hàm số: y=g(x)=tanx-x-\frac{x^{3}}{3} với x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).
Ta có: y=\frac{1}{cos^{2}x}-1-x^{2}=1+tanx^{2}-1-x^{2} =tan^{2}x-x^{2}=\left ( tanx-x \right )\left( tanx+x \right ).
\forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\Rightarrow tan x> 0.Nên ta có: tan x+x> 0 và tan x-x> 0 (theo câu a).
\Rightarrow y'> 0\, \forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).Vậy hàm số y=g(x) đồng biến trên \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\Rightarrow g\left ( x \right )> g\left ( 0 \right ).