Trang 10 – Bài 5: Giải tích 12

Đề bài:

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx>x(0<x<\frac{\pi}{2}).

b) tanx> x + \frac{x^{3}}{3}(0< x< \frac{\pi }{2})

Hướng dẫn Phương pháp giải:

  • Chuyển vế tất cả các biểu thức chứa biến sang vế trái sau đó so sánh hàm số y(x) với 0.
  • Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số y(x) và khảo sát hàm số y(x) trên các khoảng đề bài đã cho.
  • Dựa vào tính đơn điệu của hàm số để kết luận bài toán.

Đáp án:

a) tanx>x(0<x<\frac{\pi}{2}).

Xét hàm số: y=f(x)=tanx-x với x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).

Ta có: y'=\frac{1}{cos^{2}x}-1=\frac{1-cos^{2}x}{cos^{2}x}=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}=tan^{2}x> 0\forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).

Vậy hàm số luôn đồng biến trên \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).

\Rightarrow \forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ) ta có f(x)> f(0)

\Leftrightarrow tanx-x> tan0-0.
\Leftrightarrow tanx-x>0.
\Leftrightarrow tanx>x (đpcm).

b) tanx> x + \frac{x^{3}}{3}(0< x< \frac{\pi }{2})

Xét hàm số: y=g(x)=tanx-x-\frac{x^{3}}{3} với x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).

Ta có: y=\frac{1}{cos^{2}x}-1-x^{2}=1+tanx^{2}-1-x^{2} =tan^{2}x-x^{2}=\left ( tanx-x \right )\left( tanx+x \right ).

\forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\Rightarrow tan x> 0.

Nên ta có: tan x+x> 0tan x-x> 0 (theo câu a).

\Rightarrow y'> 0\, \forall x\in \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right ).

Vậy hàm số y=g(x) đồng biến trên \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\Rightarrow g\left ( x \right )> g\left ( 0 \right ).

\Leftrightarrow tan x-x-\frac{x^{3}}{3}> tan0-0-0
\Leftrightarrow tan x-x-\frac{x^{3}}{3}>0
\Leftrightarrow tan x> x+\frac{x^{3}}{3} (đpcm).

Giải Bài tập SGK Toán 12:

A. Giải tích 12:

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

– Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

– Bài 2: Cực trị của hàm số

– Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

– Bài 4: Đường tiệm cận

– Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

– Bài ôn tập chương 1

Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

– Bài 1: Lũy thừa

– Bài 2: Hàm số lũy thừa

– Bài 3: Lôgarit

– Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

– Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

– Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

– Bài ôn tập chương 2

Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

– Bài 1 : Nguyên hàm

– Bài 2 : Tích phân

– Bài 3 : Ứng dụng của tích phân trong hình học

– Ôn tập chương 3 giải tích 12

Chương 4: Số phức

– Bài 1 : Số phức

– Bài 2 : Cộng, trừ và nhân số phức

– Bài 3 : Phép chia số phức

– Bài 4 : Phương trình bậc hai với hệ số thực

–  Ôn tập chương 4 giải tích 12

– Ôn tập cuối năm giải tích 12


B. Hình học 12:

Chương 1: Khối đa diện

– Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

– Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

– Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

– Ôn tập chương 1

– Câu hỏi trắc nghiệm chương I

Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

– Bài 1 : Khái niệm về mặt tròn xoay

– Bài 2 : Mặt cầu

– Ôn tập chương 2 Hình học 12

– Câu hỏi trắc nghiệm chương 2 Hình học 12

Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

– Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian

– Bài 2 : Phương trình mặt phẳng

– Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian

– Ôn tập chương 3 Hình học 12

– Câu hỏi trắc nghiệm chương 3 Hình học 12

– Ôn tập cuối năm Hình học 12